Реклама
Все что нужно для набора массы - http://yourstrongbody.net/.
Спонсорские ссылки
-
Статья
Версия для печати
Обсудить на форуме
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.


Здесь будут рассмотрены различные методы численного решения дифференциальных уравнение.
Но, для начала, дам краткое пояснение того, что это за уравнения ...

Примечание: К сожалению, я не могу изложить здесь все основы мат анализа, поэтому, если вы не знакомы с такими понятиями как интегрирование и дифференцирование, вам эту статью читать незачем.

Дифференциальное уравнение отличается от обычного тем, что в нём, помимо переменной x присутствует зависящая от него функция y, а также её производные. Общий вид:
F(x) = 0 - обычное уравнение,
F(x,y,y',y'',...) = 0 - дифференциальное уравнение.

Порядок уравнения определяется наибольшим порядком производной. Решением уравнения является функция y = f(x). Задача Коши для диф. уравнения n-го порядка - это нахождение такого решения, которое будет удовлетворять заданным начальным условиям.



Далее, будут приведены численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка: F(x,y,y') = 0 или y' = f(x,y).


Содержание данной статьи:





Решение с помощью формулы Тейлора.


Это наиболее простой и понятный способ. Пусть необходимо решить уравнение:

Для того, что бы получить производные высших порядков для формулы Тейлора,

продифференцируем наше уравнение по x:

После подстановки начальных условий получим значения высших производных:


Алгоритм вычисления:

  • Аналитическим способом находим выражения для производных высших порядков. Чем больше возьмём производных, тем больше получим точность. Если выражения получаются достаточно простыми, можно повысив число производных и значение шага выиграть в скорости не проигравши в точности.
  • Выбираем значение шага

    так, что бы обеспечивалась сходимость ряда:

    Чем меньше h, тем больше точность вычислений, но следует учесть, что количество итераций изменяется обратно пропорционально шагу. Если h будет слишком мало, вы можете не дождаться конца вычислений, даже если у вас Pentium IV!!!
  • Подставляем начальные условия в выражения, полученные в п.1 (в вычислительной программе это обычный вызов функций).
  • Рассчитываем значение отыскиваемой функции в следующей точке:

    Отображаем точку на экране или записываем в массив. Сохранять данные в массиве следует выборочно, иначе при интегрировании на отрезке [0,10] с шагом h = 0.00001, и использовании переменных типа double понадобится 8 мегабайт памяти.
  • Если не достигли конца отрезка интегрирования, подставляем в место начальных значений текущие и возвращаемся на пункт 3. Если достигли, значит, всё посчитали.

Метод прост, но требует вычисления N * (N + 1) / 2 значений различных функций на каждом шаге.



Методы Рунге-Кутта.


Пусть известно значение y(x) тогда y(x + h) находится из такого равенства:

Заменив интеграл на hy'(x) получим:

Где y' = f(x,y) - наше диф. уравнение,
- порядок погрешности. Отбросив
и заменив
получим расчётную формулу Эйлера:

Для большей точности, аппроксимируем интеграл по формуле трапеции:
- неявная формула Адамса второго порядка точности. При расчёте сначала используют формулу Эйлера, затем подставляют полученный результат в формулу
Адамса, на порядок погрешности которой, эта подстановка не влияет:

Можно заменить интеграл по формуле прямоугольников, тогда расчётная формула выглядит так:

Эти формулы относятся к семейству методов Рунге-Кутта, имеющих следующий вид:

Давать подробное описание этим методам я не буду, если кому интересно, пусть читает соответствующую литературу. Приведу самые употребительные соотношения:
Для методов 2-го порядка

Метод 3-го порядка

Метод 4-го порядка

Надеюсь в данном случае, алгоритм расчета понятен без лишних слов.



Конечно-разностные методы.


В отличии от предыдущих, конечно-разностные методы относятся к k-шаговым, и интегрирование производится с постоянным шагом (в предыдущих значение h можно было свободно менять). Основной вид конечно-разностных методов, или конечно-разностных схем таков:

но из ряда причин используют в основном только такие методы

Они называются методами Адамса. Явные формулы Адамса:

Неявные формулы Адамса:

Коэффициенты:

Для расчёта через неявную формулу, в неё подставляют значение найденное по явной формуле. В конце статьи приведена программа расчёта по неявной формуле Адамса с i = 4.



Примеры вычислений.


Для начала возьмем простенькое уравнение:


Решение с помощью формулы Тейлора:

Находим производные высших порядков (ограничимся 4-ым):

Самый простой цикл расчета написанный на Си выглядит так:

Код: (C)
h = 0.0001;
x = x1;
i = 0;
while(x)
{
        y[i]=y0;
        y[i]+=y1(t)*h;
        y[i]+=y2(t)*h*h/2.0;
        y[i]+=y3(t)*h*h*h/6.0;
        y[i]+=y4(t)*h*h*h*h/24.0;
        y0=y[i]; x+=h; i++;
}

[x1;x2] - область интегрирования, y[i] - результаты вычислений, y0 = v(0) - начальные условия, y1(t) ... y4(t) - производные.

Более подробно рассмотрим решение уравнения:


Пусть надо построить зависимость y(x) и найти точку с максимальным значением y на отрезке [0,1], если y(0) = 1. В этом случае находить производные довольно сложно, поэтому лучше будет использовать методы Рунге-Кутта или конечноразностные схемы. Вот пример программы выполняющей расчет данного уравнения по неявной формуле Адамса с i = 4:

Код: (C)
// Написано под "Turbo C++ v3.0", запускать в эмуляции MS-DOS
#include <bios.h>
#include <bios.h>
#include <stdio.h>

// Вывод точки
#define SetPixel(X,Y,C) *((unsigned char far *)(0xA0000000L+0x0140*(Y)+(X)))=((unsigned char)(C))

// Шаг интегрирования
double h=0.0001;

// Наше диф. уравнение
double f(double X, double Y)
{
        double F;
        F=2.70*Y*Y*sin(M_PI*(0.50+8.00*X))/(X+0.10)-X*Y;
        return(F);
}

// факториал
double NF(unsigned int N)
{
        unsigned long int P=1.00;
        if(!N) return P;
        while(N) { P*=N; N--; }
        return (double)P;
}

// коэффициенты бинома Ньютона
double Cnm(unsigned int N, unsigned int M) { return NF(N)/(NF(M)*NF(N-M)); }

// дополнительная функция
double DF(double X, double *Y, unsigned int N)
{
        unsigned int I;
        double       S=0.00,Sign=1.00;
        for(I=0x00;I<=N;I++)
        {
                S+=Sign*Cnm(N,I)*f(X-h*(double)I,*(Y+0x03-I));
                Sign=-Sign;
        }
        return S;
}

// ну, если вы не знаете, что такое main(), то зачем это читаете?
void main()
{
        double X1=0.00,X2=1.00,Y0=1.00;
        double X,DY;
        double Y[0x04];
        unsigned int x,y,i;
        double MaxX,MaxY;

        // коэффициенты, см. Конечно разносные методы
        double G[0x04]={ 1.00, 1.00/2.00, 5.00/12.00, 3.00/8.00    };
        double g[0x04]={ 1.00,-1.00/2.00,-1.00/12.00,-1.00/24.00   };

        // точка максимального значения
        MaxX=X1; MaxY=Y0;

        // Включение графического режима 320*200*256
        asm MOV AX,0x0013;
        asm INT 0x10;

        // Подставляем начальные условия и производим расчет
        // первых 4-ёх значений по неявной формуле Адамса 2-го порядка точности
        X=X1;
        Y[0x00]=Y0;
        Y[0x01]=Y[0x00]+h*(f(X,Y[0x00])+f(X+h,Y[0x00]+h*f(X,Y[0x00])))/2.00; X+=h;
        Y[0x02]=Y[0x01]+h*(f(X,Y[0x01])+f(X+h,Y[0x01]+h*f(X,Y[0x01])))/2.00; X+=h;
        Y[0x03]=Y[0x02]+h*(f(X,Y[0x02])+f(X+h,Y[0x02]+h*f(X,Y[0x02])))/2.00; X+=h;

        // основной расчетный цикл
        while(X < X2)
        {
                // рассчитываем по явной формуле
                DY=0.00;  for(i=0x00;i<0x04;i++) DY+=G[i]*DF(X,Y,i);  DY*=h;
                // перемещаемся на шаг вперед
                for(i=0x00;i<0x03;i++) Y[i]=Y[i+0x01];  Y[0x03]+=DY;  X+=h;
                // две итерации на основе неявной формулы
                DY=0.00;  for(i=0x00;i<0x04;i++) DY+=g[i]*DF(X,Y,i);   DY*=h;
                Y[0x03]=Y[0x02]+DY;
                DY=0.00;  for(i=0x00;i<0x04;i++) DY+=g[i]*DF(X,Y,i);   DY*=h;
                Y[0x03]=Y[0x02]+DY;

                // проверяем максимальное значение
                if(MaxY < Y[0x03]) { MaxY=Y[0x03]; MaxX=X; }

                // вывод на экран
                x=0x0140*(X/(X2-X1));
                if(x<0x140)
                {
                        DY=f(X,Y[0x03]); y=0xC8*(0.50-0.0014*DY); if(y<0xC8) SetPixel(x,y,0x0D);
                        y=0xC8*(1.00-0.1*Y[0x03]); if(y<0xC8) SetPixel(x,y,0x0E);
                }
        }

   // пауза
   bioskey(0x00);

   // выкл. графического режима
   asm MOV AX,0x0003;
   asm INT 0x10;

   // Вывод данных
   printf("Max - %.14g,%.14gn",MaxX,MaxY);

   // пауза
   bioskey(0x00);
  }

В результате имеем такой график:


И такие значения максимума:
htxy
0.0010.0628.8992356018518
0.00010.06258.9056709667775
0.0000110с0.062488.9056780466466
0.0000011,8мин0.0624838.9056782182172
где t - время расчета (Pentium I, 233 МГц). Анализ погрешностей лучше читать по книге.

Надеюсь, прочитав эту статью вы уяснили, что в численных методах нет ничего сложного, не смотря на то, что в книгах это выглядит весьма ужасно.


Автор: Vorlon
Версия для печати
Обсудить на форуме